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壊れたクーラーでも大家さんには所有権がある

壊れたクーラーでも大家さんには所有権があるため、勝手に処分することはNGです。自費だからと言って勝手に取り換えると後々のトラブルとなる場合があります。
引越しが決まり退去する時に壊れたクーラーを元に戻せは問題ありません。つまり、壊れたクーラーを保管しておく必要があります。
もしくは退去時に大家さんとの交渉次第にはなりますが、古い壊れたクーラーの価値を弁償する方法と新しいクーラーを置いて退去することにして、大家さんから利得分を支払ってもらうことが考えられます。
どちらにしても差額をどう算出するかが問題になります。

大家さんもしくは管理会社にまずは相談しましょう

最近は、クーラー付き賃貸も増えていますが、電気製品ですから壊れることもあります。
その場合、ただちに大家さんもしくは管理会社に知らせ、大家さんの費用で修理するか新しいクーラーに換えてもらいましょう。
クーラー以外の物でも備え付けの物や設備が壊れたときは、必ず大家さんもしくは管理会社に知らせ、大家さんの費用で、というのが基本になります。

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